«Автоматизация и информатизация ТЭК»

Полуинварианты, инварианты и нуль-формы в пространстве линейных управляемых динамических систем

УДК: 681.5:622.276+622.279
DOI: -

Авторы:

¹ РГУ нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина, Москва, Россия

Ключевые слова: инвариант, нуль-форма, нуль-конус, динамическая управляемая система, критерий Гильберта – Мамфорда, нильпотентная матрица, матрица достижимости, однопараметрическая подгруппа, орбита, устойчивость, тонкий мультииндекс

Аннотация:

Рассматривается действие подобия специальной линейной группы SLn(C) на пространство линейных динамических управляемых систем Σ(n,m) с n-мерными состояниями и m-мерными входами, определяемое заменой координат в пространстве состояний системы. Линейные динамические системы являются адекватными математическими моделями для широкого круга реальных объектов и процессов. Для указанного действия двумя способами вычислены нуль-формы, объект, введенный Д. Гильбертом в общем случае и представляющий собой точки пространства, где действует группа и замыкания орбит которых содержит нуль, т. е. точки, в которых все непостоянные однородные инварианты действия обращаются в нуль. В первом способе используется критерий Гильберта – Мамфорда, утверждающий, что точка является нуль-формой тогда и только тогда, когда найдется однопараметрическая подгруппа в SLn(C), замыкание орбиты которой содержит нуль. Второй способ основывается на результатах К. Прочези об образующих алгебры инвариантов конечных семейств n×n матриц, n-мерных векторов и n-мерных ковекторов. Основной результат статьи утверждает, что линейная система (A, B) является нуль-формой тогда и только тогда, когда она не полностью достижима, а матрица A нильпотентна, т. е. An = 0. Следовательно, предъявлен конечный набор уравнений, определяющих нуль-конус (множество всех нуль-форм) в пространстве Σ(n,m) нуль. Применение введенных Р. Калманом тонких мультииндексов позволяет уменьшить число этих уравнений. Получена общая формула для числа тонких мультииндексов в случае произвольных натуральных n и m. Рассмотрены примеры.

Список литературы:

1. Ермолаев А.И., Шафиков М.Т. Идентификация параметров моделей фильтрации для жесткого водонапорного режима с целью прогнозирования динамики показателей разработки // Автоматизация, телемеханизация и связь в нефтяной пром-сти. – 1995. – № 9. – С. 13–14.
2. Осташков В.Н. Практикум по решению инженерных задач математическими методами: учеб. пособие. – М.: БИНОМ. Лаб. знаний, 2013. – 200 с.
3. Ермолаев А.И., Трубачева И.А., Некрасов А.А. Алгоритм оптимизации дебитов газоконденсатных скважин // Наука и техника в газовой пром-сти. – 2019. – № 3(79). – С. 26–34.
4. Ермолаев А.И., Скрябина А.С., Файзрахманов Г.Г. Моделирование процессов создания и эксплуатации временного хранения гелиевого концентрата в продуктивных горизонтах Адниканского месторождения // Газовая пром-сть. – 2020. – № S4(808). – С. 64–71.
5. Директор С., Рорер Р. Введение в теорию систем: пер. с англ. – М.: Мир, 1974. – 464 с.
6. Шумафов М.М. Стабилизация линейных систем управления. Проблема назначения полюсов. Обзор // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Математика. Механика. Астрономия. – 2019. – Т. 6, № 4. – С. 564–591.
7. Осетинский Н.И. Обзор некоторых результатов и методов в современной теории линейных систем // Теория систем. Мат. методы и моделирование. – М.: Мир, 1989. – С. 328–379.
8. Eilenberg S. Automata, languages and machines. Part A. – New York: Academic Press, 1974. – 451 p.
9. Tannenbaum A. Invariance and system theory: Algebraic and geometric aspects. – Heidelberg: Springer-Verlag Berlin, 1981. – XII, 164 p. – DOI: 10.1007/BFb0093318
10. Андреев Ю.Н. Алгебраические методы пространства состояний в теории управления линейными объектами (обзор иностранной литературы) // Автоматика и телемеханика. – 1977. – № 3. – С. 5–50.
11. Sontag E.D. Mathematical control theory: Deterministic Finite-Dimensional Systems. – 2nd Edition. – New York: Springer-Verlag, 1998. – XVI, 532 p. – DOI: 10.1007/978-1-4612-0577-7
12. Hilbert D. Über die vollen Invariantensysteme // Mathematische Annalen. – 1893. – Vol. 42. – P. 313–373. – DOI: 10.1007/BF01444162
13. Винберг Э.Б., Попов В.Л. Теория инвариантов // Алгебраическая геометрия – 4 (Итоги науки и техн. Соврем. проблемы математики. Фундам. направления. Т. 55). – М.: ВИНИТИ, 1989. – С. 137–309.
14. Крафт Х. Геометрические методы в теории инвариантов: пер. с нем. – Новокузнецк: НФМИ, 2000. – 308 с.
15. Procesi C. The Invariant theory of n×n matrices // Advances in mathematics. – 1976. – Vol. 19. – P. 306–381. – DOI: 10.1016/0001-8708(76)90027-x
16. Калман Р.Э., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем: пер. с англ. – М.: Мир, 1971. – 400 с.
17. Уонэм У.М. Линейные многомерные системы управления. Геометрический подход: пер. с англ. – М.: Наука, 1980. – 376 с.
18. Le Bruyn L. Noncommutative geometry @n. – Antwerpen, Belgium, 2002. – VIII, 351 p.
19. Паршин А.Н. Давид Гильберт и теория инвариантов // Историко-математические исслед. Вып. XX. – М.: Наука, 1975. – С. 171–197.
20. Hesselink W.H. Singularities in the nilpotent scheme of a classical group // Transactions of the American Mathematical Society. – 1976. – Vol. 222. – P. 1–32. – DOI: 10.1090/S0002-9947-1976-0429875-8